Perfeição: um número

O tema que vamos tratar nesse papo, já era conhecido por Euclides por volta de 300 aC quando este organizou boa parte do conhecimento matemático conhecido ate essa época. Frequentemente se pensa que os Elementos de Euclides só tratam de geometria. Dos 13 livros escritos dois livros (II e V) são quase exclusivamente algébricos, três livros (VII,VIII e IX) são dedicados a teoria dos números. A teria dos números de forma geral estuda propriedades dos números inteiros positivos. A palavra “número” para os gregos sempre se referia ao que chamamos números naturais (inteiros positivos). O livro VII começa por listar vinte e duas definições distinguindo vários tipos de números – impares e pares, primos e compostos, planos e sólidos (i.e. os que são produtos de dois ou três inteiros) e finalmente definindo números perfeitos.

A definição de números perfeitos é fácil de entender e um aluno do ensino médio ficara bem à vontade com ela. Então, dizemos que um número n é perfeito se ele for igual a soma de seus divisores próprios , i.e. dos divisores positivos menores do que n. Como exemplo veremos se 8 é um numero perfeito.Os divisores próprios de 8 são 1,2 e 4 somando , logo 8 não é um número perfeito. Mas 6 é um número perfeito pois seus divisores próprios são 1, 2 e 3 e soma é 6. O número 28 é o próximo número perfeito pois Como exemplo de números perfeitos além de 6 e 28 temos {496; 8.128; 33.055.336; 8.589.869.056;...}até 2003 só se conheciam 37 deles não se sabe se essa lista é finita ou infinita. Não se conhecem atualmente números perfeitos ímpares e conjectura-se, com fortes indícios experimentais, que não existe nenhum. Em 2004 foi submetido ao Arxiv um artigo pelo matemático australiano Simon Davis contendo a demonstração desta conjectura, que não foi no entanto ainda publicado.

No paragrafo que se segue o aceito circunflexo (^) representa que elevamos o valor que antecede ao acento ao valor que aparece depois do acento, exemplo querendo escrever 3 elevado a n–1 anotamos 3^n – 1. Fazemos assim pois a postagem não nos permite escreve a forma conhecida.

O teorema que se segue é devido a dois grandes matemáticos o primeiro Euclides já falado nesse papo, e o segundo o grande Euler e o enunciado é: um número natural n é número perfeito par se, e somente se, n = (p^p–1) .(2^p) –1, onde (2^p) –1 é um primo de Mersenne. Por definição um primo de Mersenne é um da forma M = (p^n) – 1, com "n"número natural que também é um número primo. A prova é facil, em termos da definicao de números perfeitos dada no livro VII dos Elementos. Euclides nao responde a pergunta reciproca – se essa formula fornece ou não todos os números perfeitos. Mas Euler forneceu essa prova no século 18.

Mas acho qu melhor que esse bla, bla, bla é ver se a formula funciona não é? Então vejamos: não podemor esquecer que da formula p é primo e é um primo de Mersenne, então:
para temos (2^2) – 1 = 3 um primo de Mersenne e (2^2 – 1). 3 = 6
para temos (2^3) – 1 = 7 um primo de Mersenne e (2^3 – 1). 7 = 28
para temos (2^5) – 1 = 31 um primo de Mersenne e (2^5 – 1). 31 = 496
para temos (2^7) – 1 = 127 um primo de Mersenne e (2^7 – 1). 127 = 8128
Mas temos que ter alguns cuidados com essa formula, exemplo para p= 11 temos
2^11– 1= 2047 que não é primo pois 23 x 89 = 2047onde concluímos que 11 apesar de ser primo não gera número perfeito. Um fato interessante é que parece que todo número perfeito par alteram 6 e 8 no último algarismo.

A muito se tenta harmonizar matemática e teologia, com relação aos números perfeitos Santo Agostinho apresenta uma argumentação interessante e vele citar: “ Seis é um número perfeito em si mesmo, e não porque Deus tenha criado todas as coisas em seis dias, o inverso é que é verdade: Deus criou todas as coisas em seis dias porque este número é perfeito, e teria sido perfeito mesmo que a obra dos seis dias não existisse.”
Nosso breve relato sobre esse número termina por aqui, em breve falaremos de outros números que tem propriedades interessantes. Aguardem.

Bibliografia consultada:
Historia da Matemática de Carl B. Boyer

Introdução à Teoria dos Números de José Plínio de Oliveira Santos

Elementos de Aritmética de A. Hefez