Perfeição: um número

O tema que vamos tratar nesse papo, já era conhecido por Euclides por volta de 300 aC quando este organizou boa parte do conhecimento matemático conhecido ate essa época. Frequentemente se pensa que os Elementos de Euclides só tratam de geometria. Dos 13 livros escritos dois livros (II e V) são quase exclusivamente algébricos, três livros (VII,VIII e IX) são dedicados a teoria dos números. A teria dos números de forma geral estuda propriedades dos números inteiros positivos. A palavra “número” para os gregos sempre se referia ao que chamamos números naturais (inteiros positivos). O livro VII começa por listar vinte e duas definições distinguindo vários tipos de números – impares e pares, primos e compostos, planos e sólidos (i.e. os que são produtos de dois ou três inteiros) e finalmente definindo números perfeitos.

A definição de números perfeitos é fácil de entender e um aluno do ensino médio ficara bem à vontade com ela. Então, dizemos que um número n é perfeito se ele for igual a soma de seus divisores próprios , i.e. dos divisores positivos menores do que n. Como exemplo veremos se 8 é um numero perfeito.Os divisores próprios de 8 são 1,2 e 4 somando , logo 8 não é um número perfeito. Mas 6 é um número perfeito pois seus divisores próprios são 1, 2 e 3 e soma é 6. O número 28 é o próximo número perfeito pois Como exemplo de números perfeitos além de 6 e 28 temos {496; 8.128; 33.055.336; 8.589.869.056;...}até 2003 só se conheciam 37 deles não se sabe se essa lista é finita ou infinita. Não se conhecem atualmente números perfeitos ímpares e conjectura-se, com fortes indícios experimentais, que não existe nenhum. Em 2004 foi submetido ao Arxiv um artigo pelo matemático australiano Simon Davis contendo a demonstração desta conjectura, que não foi no entanto ainda publicado.

No paragrafo que se segue o aceito circunflexo (^) representa que elevamos o valor que antecede ao acento ao valor que aparece depois do acento, exemplo querendo escrever 3 elevado a n–1 anotamos 3^n – 1. Fazemos assim pois a postagem não nos permite escreve a forma conhecida.

O teorema que se segue é devido a dois grandes matemáticos o primeiro Euclides já falado nesse papo, e o segundo o grande Euler e o enunciado é: um número natural n é número perfeito par se, e somente se, n = (p^p–1) .(2^p) –1, onde (2^p) –1 é um primo de Mersenne. Por definição um primo de Mersenne é um da forma M = (p^n) – 1, com "n"número natural que também é um número primo. A prova é facil, em termos da definicao de números perfeitos dada no livro VII dos Elementos. Euclides nao responde a pergunta reciproca – se essa formula fornece ou não todos os números perfeitos. Mas Euler forneceu essa prova no século 18.

Mas acho qu melhor que esse bla, bla, bla é ver se a formula funciona não é? Então vejamos: não podemor esquecer que da formula p é primo e é um primo de Mersenne, então:
para temos (2^2) – 1 = 3 um primo de Mersenne e (2^2 – 1). 3 = 6
para temos (2^3) – 1 = 7 um primo de Mersenne e (2^3 – 1). 7 = 28
para temos (2^5) – 1 = 31 um primo de Mersenne e (2^5 – 1). 31 = 496
para temos (2^7) – 1 = 127 um primo de Mersenne e (2^7 – 1). 127 = 8128
Mas temos que ter alguns cuidados com essa formula, exemplo para p= 11 temos
2^11– 1= 2047 que não é primo pois 23 x 89 = 2047onde concluímos que 11 apesar de ser primo não gera número perfeito. Um fato interessante é que parece que todo número perfeito par alteram 6 e 8 no último algarismo.

A muito se tenta harmonizar matemática e teologia, com relação aos números perfeitos Santo Agostinho apresenta uma argumentação interessante e vele citar: “ Seis é um número perfeito em si mesmo, e não porque Deus tenha criado todas as coisas em seis dias, o inverso é que é verdade: Deus criou todas as coisas em seis dias porque este número é perfeito, e teria sido perfeito mesmo que a obra dos seis dias não existisse.”
Nosso breve relato sobre esse número termina por aqui, em breve falaremos de outros números que tem propriedades interessantes. Aguardem.

Bibliografia consultada:
Historia da Matemática de Carl B. Boyer

Introdução à Teoria dos Números de José Plínio de Oliveira Santos

Elementos de Aritmética de A. Hefez

Falando sobre fractais

Pensando no que escrever para nosso primeiro papo no blog, resolvi apresentar um assunto que tem diversas aplicações na vida real.

Os rabiscos na parte do alto do blog denunciam o assunto, e você ai já deve estar se perguntando o que tem a ver esses rabiscos com um assunto de diversas aplicações na vida real. A matemática as vezes faz isso, aplica conceitos onde a gente não consegue imaginar.

Bom, já está na hora de acabar com o mistério. A palavra chave que vai nos seguir em todo esse papo é fractal, do latim fractus, que significa fração ou ainda quebrado. O termo foi criado pelo matemático frances Benoît Mandelbrot em 1975. Por muito tempo a geometria euclidiana, essa que estudamos na escola, deu conta de descrever diversos aspectos do mundo que vivemos, mas essa geometria começou a falhar em outros aspectos como, por exemplo, calcular a área do pulmão humano, não é uma região fácil de ser calculada, mas a geometria não-euclidiana deu conta disso.

A geometria de fractais é obra de diversas mentes, entre elas podemos citar Karl Weierstrass que em 1872 encontrou uma função que é continua em todo seu domínio, mas em nenhuma parte diferençável. Só por curiosidade o gráfico dessa função é um fractal.

Outro matemático exibiu em 1904 uma curva fechada, iniciando com um triângulo equilátero com lados unitários dividimos em três cada um dos segmentos unitários, construímos um triângulo equilátero no terço do meio e apagando a base de cada um dos novos triângulos equiláteros . O resultado é uma poligonal fechada de doze lados e com comprimento total de quatro unidades. Didivindo em três cada um dos doze lados, erigindo doze triângulos equilateros sobre os terços do meio , e apagando as bases, temos uma figura fechada com quarenta e oito lados e um comprimento de 16/3. Continuando esse processo indefinidamente, resulta uma curva limite chamada curva de Koch, uma homenagem ao matemático que a descobriu . O interessante é que essa curva só não tem tangente em nenhum ponto, mas tem a notável propriedade de que, dados dois pontos quaisquer sobre a curva, o comprimento de arco entre os dois pontos é infinito.

Acho que ficou melhor a explicação dada por Helge Von Koch do que a primeira dado por Weierstrass não acham? Pois bem , podemos citar vários outros conjuntos como Triângulo de Sierpinski foi criado pelo matemático polonês Waclav Sierpinski em 1916 e possui, além de características e propriedades fractais, relação com o triângulo aritmético de Pascal.

O conjunto conhecido por Conjunto de Julia foi criado pelos matemáticos Pierre Fatou e Gaston Julia em 1919. Esse conjunto, obtido por interações no plano complexo, resultou da curiosidade de determinar o que aconteceria com um número complexo z quando a este fosse aplicado interativamente a função f(t) = z² + c , onde c é um número complexo. Apenas com os modernos computadores foi possível visualizar a beleza dos gráficos de tais funções.

O fractal no alto do blog é resultado da interação de uma função no plano complexo.
Pois bem, logicamente as definições acima são puramente intuitivas. Coube a Mandelbrot definir fractal com sendo um sistema organizado para o qual a dimensão de Hausdorff-Besicovitch excede estritamente a dimensão topológica. A definição é estranha mesmo, mas se você pegou a ideia da construção dada bom Koch isso basta, a definição está aí porque gostamos das coisas bem definidas. Algumas coisas importantes a serem consideradas ainda é que: intuitivamente, um conjunto F é considerado um fractal se satisfaz pelo menos algumas das seguintes características:
1ª - possui detalhes em qualquer escala;
2ª - é localmente ou globalmente muito irregular para ser descrito em linguagem
geométrica tradicional;
3ª - é exatamente, aproximadamente ou estatisticamente auto-similar;
4ª - possui dimensão fractal maior do que a dimensão topológica; e
5ª - pode ser definido por um algoritmo recursivo simples.

Sei que para alguns a dúvida ainda persiste: O que tem o pulmão a ver com isso? A estrutura do pulmão internamente esta definida numa dimensão fracionaria. A estrutura pulmonar só pode ser mais bem estudada a partir dos fractais.

Longe de querer apresentar tudo sobre esse assunto fica uma ideia inicial, caso algum de vocês se interessem a internet está cheia de imagens de fractais de beleza singular. Existem também, bibliográfias tratando sobre dimensões fractais. Não posso deixar de citar, que uma aluna nossa do CARJ formada em 2008, está fazendo um curso de moda e promete apresentar uma coleção inspirada nos fractais.

Agradeço a Natasha a criadora do blog e a Andressa que leu e arrumou o que não sei arrumar, beijos.

Já deixo aos interessados que nosso próximo papo será sobre números perfeitos.

Até mais!

Bibliografia consultada:
Hostória da Matemática de Carl B. Boyer

Fractais no ensino fundamental: Explorando essa nova geometria
Theodoro Becker de Almeida, Rodiane Ouriques Martinelli,
Virgínia Maria Rodrigues e Ana Maria Marques da Silva

Compressão de Imagens Medicas Usando Fractais
João Manoel da Silva e Edna Lúcia Flôres